三角剖分详解

三角剖分

三角剖分定义

定义:三角剖分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段,E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：

1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。

2.没有相交边。　

3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散点集V的凸包。

Delaunay边：

存在一条边e属于E,且经过该边的两个端点a,b有一个圆，园内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其它的点，这样的边称为Delaunay边。

Delaunay三角剖分：

如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。

Delaunay三角剖分的准则：

1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。

2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。具体的说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。

Delaunay三角剖分的特性

1.最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。　

2.唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。　　

3.最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。

4.最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。　

5.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。　　

6.具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。

局部最优化处理：

理论上为了构造Delaunay三角网一般三角网经过LOP(LocalOptimizationProcedure)处理，即可确保成为Delaunay三角网。

其基本做法如下：

　　1.将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。

　2.以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。

　3.如果在，修正对角线即将对角线对调，即完成局部优化过程的处理。

Delaunay剖分的算法

——Lawson算法

Lawson算法

原理：首先建立一个大的三角形或多边形，把所有数据点包围起来，向其中插入一点，该点与包含它的三角形三个顶点相连，形成三个新的三角形，然后逐个对它们进行空外接圆检测，同时用LOP进行优化，来保证所形成的三角网为Delaunay三角网。

优点：理论严密、唯一性好，网格满足空圆特性，较为理想。由其逐点插入的构网过程可知，遇到非Delaunay边时，通过删除调整，可以构造形成新的Delaunay边。

缺点：在实际应用当中，这种构网算法当点集较大时构网速度也较慢，如果点集范围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法三角形。

Lawson算法的基本步骤是：

1、构造一个超级三角形，包含所有散点，放入三角形链表。

2、将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出其外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影响三角形的全部顶点连接起来，从而完成一个点在Delaunay三角形链表中的插入。

　3、根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化。将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。

　

　4、循环执行上述第2步，直到所有散点插入完毕。